5. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найти длины этих наклонных, если одна из них на 13 см меньше другой, а проекции наклонных равны 6 см и 20 см.

Решение:

Пусть \( l_1 \) и \( l_2 \) — длины наклонных, \( p_1 \) и \( p_2 \) — длины их проекций на плоскость, \( h \) — расстояние от точки до плоскости.

По теореме о трёх перпендикулярах:

\[ l_1^2 = p_1^2 + h^2 \]

\[ l_2^2 = p_2^2 + h^2 \]

Дано:

• \( p_1 = 6 \) см
• \( p_2 = 20 \) см
• \( l_2 = l_1 + 13 \) см (предположим, что вторая наклонная длиннее первой, так как ее проекция больше)

Подставим известные значения в уравнения:

\[ l_1^2 = 6^2 + h^2 = 36 + h^2 \]

\[ l_2^2 = 20^2 + h^2 = 400 + h^2 \]

Также мы знаем, что \( l_2 = l_1 + 13 \). Возведём обе части в квадрат:

\[ l_2^2 = (l_1 + 13)^2 = l_1^2 + 26l_1 + 169 \]

Теперь приравняем выражения для \( l_2^2 \):

\[ 400 + h^2 = l_1^2 + 26l_1 + 169 \]

Заменим \( l_1^2 \) на \( 36 + h^2 \):

\[ 400 + h^2 = (36 + h^2) + 26l_1 + 169 \]

\[ 400 + h^2 = 36 + h^2 + 26l_1 + 169 \]

Сократим \( h^2 \):

\[ 400 = 36 + 26l_1 + 169 \]

\[ 400 = 205 + 26l_1 \]

\[ 26l_1 = 400 - 205 \]

\[ 26l_1 = 195 \]

\[ l_1 = \frac{195}{26} = 7,5 \) см

Теперь найдём \( l_2 \):

\[ l_2 = l_1 + 13 = 7,5 + 13 = 20,5 \) см

Проверим, совпадают ли полученные значения с \( l_2^2 = 400 + h^2 \). Сначала найдём \( h^2 \) из \( l_1^2 = 36 + h^2 \):

\[ (7,5)^2 = 36 + h^2 \]

\[ 56,25 = 36 + h^2 \]

\[ h^2 = 56,25 - 36 = 20,25 \]

Теперь проверим \( l_2^2 \):

\[ l_2^2 = 20,5^2 = 420,25 \]

\[ 400 + h^2 = 400 + 20,25 = 420,25 \]

Значения совпадают.

Ответ: 7,5 см и 20,5 см.