5. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Через 1 час навстречу ему из пункта В, находящегося в 30 км от А, выплыла моторная лодка, которая встретилась с плотом через 2 часа после своего выхода. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение:

Дано:

• Расстояние между пунктами A и B: \( S_{AB} = 30 \) км.
• Скорость течения реки: \( v_{теч} = 2 \) км/ч.
• Время движения плота до встречи: \( t_{плот} = 1 \) час (до выхода лодки) + \( t_{встр} \) (время до встречи после выхода лодки).
• Время движения лодки до встречи: \( t_{лодка} = t_{встр} \).
• Время от отправления плота до встречи: \( t_{встречи} = 1 + t_{встр} \).
• Время, через которое встретились: \( t_{встр} = 2 \) часа.

Найти:

• Собственную скорость лодки: \( v_{лодка} \) (собст.).

Решение:

1. Скорость плота равна скорости течения реки: \( v_{плот} = v_{теч} = 2 \) км/ч.
2. Плот до выхода лодки проплыл: \( S_1 = v_{плот} \cdot 1 \) час \( = 2 \) км/ч \( \cdot 1 \) ч \( = 2 \) км.
3. Расстояние между плотом и лодкой в момент выхода лодки: \( S_{AB} - S_1 = 30 \) км - \( 2 \) км = \( 28 \) км.
4. Скорость лодки по течению (так как она плывет навстречу плоту, который движется вниз по течению, значит лодка плывет вверх): \( v_{лодка} = v_{лодка} \) (собст.) - \( v_{теч} \).
5. Скорость сближения лодки и плота: \( v_{сбл} = v_{плот} + v_{лодка} \) (скорость плота вниз по течению, скорость лодки вверх против течения).
6. \( v_{сбл} = 2 + (v_{лодка} \) (собст.) - 2 \) \( = v_{лодка} \) (собст.)
7. Время до встречи лодки и плота: \( t_{встр} = \frac{S_{AB} - S_1}{v_{сбл}} \).
8. \( 2 = \frac{28}{v_{лодка} \) (собст.) \)
9. \( v_{лодка} \) (собст.) \( = \frac{28}{2} = 14 \) км/ч.

Ответ: Собственная скорость лодки составляет 14 км/ч.