5. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Через 1 ч навстречу ему из пункта В, находящегося в 30 км от А, вышла моторная лодка, которая встретилась с плотом через 2 ч после своего выхода. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение:

Пусть \( v_{лодки} \) — собственная скорость лодки (км/ч), а \( v_{течения} = 2 \) км/ч — скорость течения реки.

Скорость плота равна скорости течения: \( v_{плота} = v_{течения} = 2 \) км/ч.

Скорость лодки по течению (если бы она плыла по течению): \( v_{лодки} + v_{течения} \).

Скорость лодки против течения (если бы она плыла против течения): \( v_{лодки} - v_{течения} \).

В данном случае лодка движется навстречу плоту, который плывет по течению. Скорость лодки относительно берега равна \( v_{лодки} + v_{течения} \), так как она плывет по течению, а плот плывет по течению.

Плот отправился из пункта А. Через 1 час он проплыл \( 2 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 2 \) км.

Лодка вышла из пункта В, который находится в 30 км от А. В момент выхода лодки, плот находился на расстоянии \( 30 - 2 = 28 \) км от пункта В.

Лодка и плот встретились через 2 часа после выхода лодки. За эти 2 часа:

• Плот проплыл: \( v_{плота} \times 2 \text{ ч} = 2 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 4 \) км.
• Общее расстояние, которое преодолел плот от пункта А до места встречи: \( 2 \text{ км} + 4 \text{ км} = 6 \) км.
• Лодка проплыла: \( (v_{лодки} + v_{течения}) \times 2 \text{ ч} = (v_{лодки} + 2) \times 2 \) км.

Расстояние от пункта В до места встречи равно расстоянию, которое проплыла лодка.

В момент встречи лодка и плот находились на одном и том же расстоянии от пункта А. Расстояние от пункта А до места встречи равно 30 км (расстояние от А до В) минус расстояние, которое проплыла лодка навстречу А.

Расстояние от А до места встречи = \( 30 \text{ км} - \text{расстояние, пройденное лодкой от В} \).

В момент встречи, расстояние от А до места встречи равно расстоянию, которое проплыл плот от А: \( 6 \) км.

Значит, \( 30 \text{ км} - \text{расстояние, пройденное лодкой от В} = 6 \text{ км} \).

\( \text{расстояние, пройденное лодкой от В} = 30 - 6 = 24 \) км.

Таким образом, \( (v_{лодки} + 2) \times 2 = 24 \).

Разделим обе части на 2:

\( v_{лодки} + 2 = 12 \).

\( v_{лодки} = 12 - 2 = 10 \) км/ч.

Ответ: 10 км/ч.