5. Из одной точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды длинами 1 см, 4 см и 8 см. Найдите объем шара, ограниченного данной сферой.

Дано:

• Три попарно перпендикулярные хорды, исходящие из одной точки сферы.
• Длины хорд: \(l_1 = 1\) см, \(l_2 = 4\) см, \(l_3 = 8\) см.

Найти: Объем шара \(V\).

Решение:

1. Связь хорд с радиусом сферы:

   Если из одной точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды, то квадрат длины диагонали параллелепипеда, построенного на этих хордах как на измерениях, равен квадрату диаметра сферы. Это следует из того, что концы трех таких хорд и противоположная им точка на сфере образуют прямоугольный параллелепипед, диагональ которого является диаметром сферы.

   Пусть \(R\) – радиус сферы, а \(d\) – диаметр сферы \(d=2R\).

   Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:

   \[ d^2 = l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 \]
2. Находим квадрат диаметра сферы:\[ d^2 = 1^2 + 4^2 + 8^2 \]\[ d^2 = 1 + 16 + 64 \]\[ d^2 = 81 \]
3. Находим диаметр сферы:\[ d = \sqrt{81} = 9 \text{ см} \]
4. Находим радиус сферы:\[ R = \frac{d}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ см} \]
5. Находим объем шара:

   Объем шара вычисляется по формуле \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\).

   \[ V = \frac{4}{3}\pi (4.5)^3 \]\[ V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{9}{2}\right)^3 \]\[ V = \frac{4}{3}\pi \frac{729}{8} \]\[ V = \frac{\pi \times 729}{3 \times 2} = \frac{243\pi}{2} \text{ см}^3 \]

Ответ: \(\frac{243\pi}{2}\) см³