5. Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Краткая запись:

• На рисунке 2 показан чертеж передней панели печи.
• Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха.
• Размеры: ширина кожуха 42 см, высота кожуха 72 см.
• Найти: радиус закругления арки (R) в сантиметрах.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем половину ширины кожуха: $$42 ext{ см} / 2 = 21 ext{ см}$$. Это будет один из катетов прямоугольного треугольника.
2. Шаг 2: Определяем расстояние от центра окружности до верхнего края арки. Центр окружности находится в середине нижней части кожуха. Высота кожуха 72 см. Если арка является частью окружности, то расстояние от центра до любой точки на окружности равно радиусу R. Высота арки (от центра нижней части до верхней точки) равна 72 см. Расстояние от центра до верхней точки арки равно R. Расстояние от середины нижней части кожуха до середины верхней части кожуха равно 72 см. Поэтому, расстояние от центра (середина нижней части) до верха арки составляет $$72 ext{ см}$$.
3. Шаг 3: Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника. Катеты: 21 см (половина ширины) и $$72 - R$$ (расстояние от середины нижней части до верхней точки арки, где R - высота арки от верхней точки до линии, проведенной через центр параллельно основанию). Этот шаг неверен.
4. Шаг 3 (коррекция): Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:
   • Катет 1: половина ширины кожуха = $$42 / 2 = 21$$ см.
   • Катет 2: расстояние от центра окружности до середины верхней точки арки. Так как центр окружности находится в середине нижней части кожуха, а высота всего кожуха 72 см, то расстояние от центра до верхней точки арки будет $$72 - R$$.
   • Гипотенуза: радиус окружности R.
5. Шаг 4 (коррекция): Применяем теорему Пифагора: $$R^2 = ( ext{катет 1})^2 + ( ext{катет 2})^2$$.
6. $$R^2 = 21^2 + (72 - R)^2$$
7. $$R^2 = 441 + (5184 - 144R + R^2)$$
8. $$R^2 = 441 + 5184 - 144R + R^2$$
9. $$0 = 5625 - 144R$$
10. $$144R = 5625$$
11. $$R = 5625 / 144$$
12. $$R ext{ ≈ } 39.0625$$ см.
13. Шаг 5: Перепроверим условие. Центр окружности в середине нижней части кожуха. Верхняя часть кожуха — дуга. Размеры: 42 (ширина), 72 (высота). R - радиус.
14. Пусть центр окружности - точка O. Ширина кожуха - AB = 42. Высота кожуха - CD = 72. Арка - дуга EF. Центр окружности - середина AB, пусть это будет точка M.
15. Тогда AM = MB = 21.
16. Пусть верхняя точка арки - F. FM = R (радиус).
17. Расстояние от M до F = 72. Это неверно.
18. Шаг 3 (повторная коррекция): Центр окружности находится в середине нижней части кожуха. Пусть точка O — это центр. Ширина кожуха — 42 см. Половина ширины — 21 см. Расстояние от центра O до края (например, до точки A на нижнем крае) равно 21 см.
19. Высота кожуха — 72 см. Верхняя точка арки — C. Тогда OC = R (радиус).
20. Расстояние от центра O до верхней точки C составляет 72 см.
21. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где один катет — половина ширины кожуха (21 см), другой катет — расстояние от центра до верхнего края арки по вертикали.
22. Высота верхней части кожуха (арки) равна 72 см. Центр окружности находится в середине нижней части.
23. Радиус R - это расстояние от центра до любой точки на окружности.
24. Пусть центр находится в точке (0,0). Нижний край кожуха будет на уровне y=0. Тогда точки A и B будут (-21, 0) и (21, 0).
25. Верхний край арки будет на уровне y=72.
26. Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами: центр окружности (0,0), точка на нижнем крае (21, 0), и точка на верхней точке арки (x, 72).
27. Это не подходит.
28. Шаг 3 (еще одна попытка): Дан рисунок 2. Ширина кожуха 42 см, высота 72 см. Арка — часть окружности. Центр окружности — середина нижней части кожуха.
29. Пусть центр окружности — точка O. Нижний край кожуха — отрезок AB, длина 42 см. Точка O — середина AB. OA = OB = 21 см.
30. Верхняя точка арки — C. OC = R (радиус).
31. Расстояние от O до C по вертикали равно высоте кожуха, т.е. 72 см.
32. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где:
    • Катет 1: половина ширины кожуха, OA = 21 см.
    • Катет 2: высота от центра O до верхней точки арки C, OC = 72 см.
    • Гипотенуза: радиус R.
33. Применяем теорему Пифагора: $$R^2 = OA^2 + OC^2$$.
34. $$R^2 = 21^2 + 72^2$$
35. $$R^2 = 441 + 5184$$
36. $$R^2 = 5625$$
37. $$R = ext{sqrt}(5625)$$
38. $$R = 75$$ см.

Ответ: 75