5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 142°, угол CAD равен 88°. Найдите угол ABD.

Решение:

Четырёхугольник \( \text{ABCD} \) вписан в окружность. Угол \( \text{ABC} = 142° \). Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°. Следовательно, угол \( \text{ADC} = 180° - 142° = 38° \).

Угол \( \text{ADC} \) состоит из двух углов: \( \text{ADC} = \angle \text{ADB} + \angle \text{BDC} \).

Угол \( \text{CAD} = 88° \). Угол \( \text{CBD} \) опирается на ту же дугу \( \text{CD} \), что и угол \( \text{CAD} \), поэтому \( \angle \text{CBD} = \angle \text{CAD} = 88° \).

Угол \( \text{ABC} = \angle \text{ABD} + \angle \text{CBD} \).

Таким образом, \( 142° = \angle \text{ABD} + 88° \).

Отсюда \( \angle \text{ABD} = 142° - 88° = 54° \).

Ответ: 54°.