5. Бригада должна была изготовить 40 деталей к определённому сроку. Изготовляя в час на 8 деталей больше запланированного, бригада уже за 2 ч до срока перевыполнила план на 8 деталей. Сколько деталей в час должна была изготовлять бригада по плану?

Решение:

Пусть \( x \) — запланированное количество деталей, которое должна была изготовлять бригада в час. Тогда время, за которое бригада должна была выполнить план, равно \( \frac{40}{x} \) часов.

Фактически бригада изготовляла \( x + 8 \) деталей в час.

За \( \frac{40}{x} - 2 \) часов бригада выполнила план.

Количество изготовленных деталей за это время равно \( (x + 8) (\frac{40}{x} - 2) \).

По условию, бригада перевыполнила план на 8 деталей, то есть изготовила \( 40 + 8 = 48 \) деталей.

Составим уравнение:

\( (x + 8) (\frac{40}{x} - 2) = 48 \)

1. Раскроем скобки: \( x \cdot \frac{40}{x} - 2x + 8 \cdot \frac{40}{x} - 16 = 48 \).
2. Упростим: \( 40 - 2x + \frac{320}{x} - 16 = 48 \).
3. Приведём подобные слагаемые: \( 24 - 2x + \frac{320}{x} = 48 \).
4. Перенесём все члены в одну сторону: \( -2x + \frac{320}{x} + 24 - 48 = 0 \).
5. Упростим: \( -2x + \frac{320}{x} - 24 = 0 \).
6. Умножим всё на \( x \) (при \( x \neq 0 \)): \( -2x^2 + 320 - 24x = 0 \).
7. Разделим на \( -2 \): \( x^2 + 12x - 160 = 0 \).
8. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 12^2 - 4(1)(-160) = 144 + 640 = 784 \). \( \sqrt{D} = 28 \).
9. Найдем корни для \( x \):
• \( x_1 = \frac{-12 + 28}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).
• \( x_2 = \frac{-12 - 28}{2} = \frac{-40}{2} = -20 \).
10. Так как \( x \) — это количество деталей в час, оно должно быть положительным. Следовательно, \( x = 8 \).

Проверим:

Плановая скорость: 8 деталей/ч. Время выполнения плана: \( 40 : 8 = 5 \) часов.

Фактическая скорость: \( 8 + 8 = 16 \) деталей/ч.

Время выполнения с учетом перевыполнения: \( 48 : 16 = 3 \) часа.

Разница во времени: \( 5 - 3 = 2 \) часа. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 8 деталей в час.