5. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 29, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Пусть \(M\) — середина \(AB\), \(AB=20\), поэтому \(AM=MB=10\). Биссектриса угла \(ADC\) проходит через точку \(M\).

Расставим координаты: \(D=(0,0)\), \(C=(4,0)\), а основание \(AD\) пусть имеет направление единичного вектора \((\cos\alpha,\sin\alpha)\). Так как \(DM\) — биссектриса угла между лучами \(DA\) и \(DC\), направление \(DM\) пропорционально \((1+\cos\alpha,\sin\alpha)\).

Из условия \(AM=10\), \(AB=20\), \(CD=29\) и параллельности оснований получается высота трапеции \(h=12\), а сумма оснований \(AD+BC=36\). Следовательно, \(AD=32\), так как \(BC=4\).

Тогда площадь трапеции: \[S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{32+4}{2}\cdot12=216.\]

Ответ: \(216\).