5.7. Завод изготавливает наушники. Известно, что 3% готовых устройств неисправны; 96% неисправных устройств обнаруживаются при контроле качества продукции. Однако система контроля ошибочно бракует 1% исправных устройств. Устройства, которые не забракованы, упаковываются и поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранные наушники поступят в продажу.

Решение:

Обозначим события:

• \( N \) — наушники неисправны. \( P(N) = 0.03 \).
• \( И \) — наушники исправны. \( P(И) = 1 - P(N) = 1 - 0.03 = 0.97 \).
• \( К \) — устройство забраковано системой контроля.
• \( П \) — устройство поступает в продажу (не забраковано).

Известно:

• Вероятность обнаружить неисправное устройство: \( P(K|N) = 0.96 \).
• Вероятность того, что исправное устройство будет ошибочно забраковано: \( P(K|И) = 0.01 \).

Вероятность того, что исправное устройство НЕ будет забраковано: \( P(П|И) = 1 - P(K|И) = 1 - 0.01 = 0.99 \).

Вероятность того, что неисправное устройство НЕ будет забраковано (останется незабракованным, но все еще неисправным): \( P(П|N) = 1 - P(K|N) = 1 - 0.96 = 0.04 \).

Вероятность того, что случайно выбранные наушники поступят в продажу, складывается из двух случаев: когда они исправны и не забракованы, ИЛИ когда они неисправны, но тоже не забракованы.

Используем формулу полной вероятности:

\( P(П) = P(П|И) \cdot P(И) + P(П|N) \cdot P(N) \)

\( P(П) = 0.99 \cdot 0.97 + 0.04 \cdot 0.03 \)

\( P(П) = 0.9603 + 0.0012 \)

\( P(П) = 0.9615 \)

Ответ: 0.9615