5.5. Угол между векторами а и в равен 45°, |a| = 3, |b| = 3√2. Найдите: 1) (а+Б) · Б; 2) (2а-Б)·а; 3) (а-Б)^2.

Решение:

Воспользуемся свойствами скалярного произведения и формулами:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos(45^{\circ}) = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9 \cdot 2}{2} = 9 \)

1. \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9 + (3\sqrt{2})^2 = 9 + 18 = 27 \)
2. \( (2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 2\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a} = 2|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3^2 - 9 = 2 \cdot 9 - 9 = 18 - 9 = 9 \)
3. \( (\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 3^2 - 2 \cdot 9 + (3\sqrt{2})^2 = 9 - 18 + 18 = 9 \)

Ответ: 1) 27; 2) 9; 3) 9.