5.18. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а, точка М середина ребра АВ. Найдите скалярное произведение векторов: 1) СМ и DC; 2) АВ и СБ.

Решение:

Для решения этой задачи необходимо использовать векторы в системе координат или геометрические свойства тетраэдра. Так как конкретные координаты вершин не заданы, воспользуемся свойствами скалярного произведения.

Пусть вершины тетраэдра имеют следующие координаты (можно выбрать удобное начало координат, например, точку D):

\( D = (0; 0; 0) \)

Пусть \( \vec{DA} = \vec{a}_1, \vec{DB} = \vec{a}_2, \vec{DC} = \vec{a}_3 \). Так как тетраэдр правильный, то \( |\vec{a}_1| = |\vec{a}_2| = |\vec{a}_3| = a \) и углы между любыми двумя векторами равны 60°.

\( \vec{a}_1 \cdot \vec{a}_2 = a \cdot a \cdot \cos(60^{\circ}) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2} \)

Аналогично \( \vec{a}_1 \cdot \vec{a}_3 = \frac{a^2}{2} \) и \( \vec{a}_2 \cdot \vec{a}_3 = \frac{a^2}{2} \)

Вершины тетраэдра:

\( D = (0; 0; 0) \)

\( A \) - соответствующая координата вектора \( \vec{a}_1 \)

\( B \) - соответствующая координата вектора \( \vec{a}_2 \)

\( C \) - соответствующая координата вектора \( \vec{a}_3 \)

Точка M - середина AB. \( \vec{DM} = \frac{\vec{DA} + \vec{DB}}{2} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2} \)

1) Найдем скалярное произведение \( \vec{CM} \cdot \vec{DC} \):

\( \vec{CM} = \vec{DM} - \vec{DC} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2} - \vec{a}_3 \)

\( \vec{DC} = -\vec{CD} \). Если мы используем \( \vec{a}_3 = \vec{DC} \), тогда \( \vec{DC} = \vec{a}_3 \).

\( \vec{CM} \cdot \vec{DC} = (\frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2} - \vec{a}_3) \cdot \vec{a}_3 = \frac{1}{2}(\vec{a}_1 \cdot \vec{a}_3 + \vec{a}_2 \cdot \vec{a}_3) - \vec{a}_3 \cdot \vec{a}_3 = \frac{1}{2}(\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}) - |\vec{a}_3|^2 = \frac{1}{2}(a^2) - a^2 = \frac{a^2}{2} - a^2 = -\frac{a^2}{2} \)

2) Найдем скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{CB} \):

\( \vec{AB} = \vec{DB} - \vec{DA} = \vec{a}_2 - \vec{a}_1 \)

\( \vec{CB} = \vec{DB} - \vec{DC} = \vec{a}_2 - \vec{a}_3 \)

\( \vec{AB} \cdot \vec{CB} = (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_3) = \vec{a}_2 \cdot \vec{a}_2 - \vec{a}_2 \cdot \vec{a}_3 - \vec{a}_1 \cdot \vec{a}_2 + \vec{a}_1 \cdot \vec{a}_3 \)

\( = |\vec{a}_2|^2 - \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = a^2 - a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2} \)

Ответ: 1) -a²/2; 2) a²/2.