5. (1 балл) Решите уравнение.

Решение:

Дано уравнение: \( \left(\frac{1}{8}\right)^{2x+5} = \left(\frac{1}{32}\right)^{5x-1} \)

1. Приведём основания степеней к одному основанию. Так как \( \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} \) и \( \frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5} \), уравнение примет вид:

\[ (2^{-3})^{2x+5} = (2^{-5})^{5x-1} \]

2. Используя свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), раскроем скобки:

\[ 2^{-3(2x+5)} = 2^{-5(5x-1)} \]

\[ 2^{-6x-15} = 2^{-25x+5} \]

3. Так как основания степеней равны, приравняем показатели степеней:

\[ -6x - 15 = -25x + 5 \]

4. Решим полученное линейное уравнение:

\[ -6x + 25x = 5 + 15 \]

\[ 19x = 20 \]

\[ x = \frac{20}{19} \]

Ответ: \( x = \frac{20}{19} \).