5. (1 балл) Решите неравенство log 0,5 (2x + 1) > -2

Решение:

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Выражение под логарифмом должно быть положительным:
• \[ 2x + 1 > 0 \]
• \[ 2x > -1 \]
• \[ x > -0.5 \]
2. Преобразуем неравенство: Так как основание логарифма 0.5 меньше 1, при снятии логарифма знак неравенства меняется на противоположный.
• \[ \log_{0.5}(2x + 1) > -2 \]
• \[ 2x + 1 < (0.5)^{-2} \]
• \[ 2x + 1 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \]
• \[ 2x + 1 < 2^2 \]
• \[ 2x + 1 < 4 \]
3. Решаем полученное линейное неравенство:
• \[ 2x < 4 - 1 \]
• \[ 2x < 3 \]
• \[ x < 1.5 \]
4. Учитываем ОДЗ: Теперь нужно объединить два условия: \( x > -0.5 \) и \( x < 1.5 \).

Ответ: \( -0.5 < x < 1.5 \)