421 Пусть случайная величина Х принимает неотрицательные значения и имеет математическое ожидание EX. Пусть а — произвольное положительное число. С помощью неравенства Маркова постройте нижнюю оценку вероятности события X <а.

Решение:

Неравенство Маркова для неотрицательной случайной величины \(X\) гласит:

\[ P(X \ge a) \le \frac{EX}{a} \]

Рассмотрим противоположное событие \(X < a\). Вероятность этого события равна \(P(X < a) = 1 - P(X ≥ a)\).

Из неравенства Маркова мы имеем \(P(X ≥ a) \le \frac{EX}{a}\).

Тогда, \( -P(X ≥ a) ≥ -\frac{EX}{a} \).

Следовательно,

\[ P(X < a) = 1 - P(X ≥ a) ≥ 1 - \frac{EX}{a} \]

Это и есть нижняя оценка вероятности события \(X < a\).

Ответ: Нижняя оценка вероятности события \(X < a\) равна \(1 - \frac{EX}{a}\).