42. Найдите площадь осевого сечения конуса, если образующая равна 6см. и наклонена к плоскости основания по углом 60°.

Решение:

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр конуса \( d = 2r \), а боковыми сторонами — образующие \( l \).

Площадь осевого сечения \( S_{oc} = \frac{1}{2} × d × h = r × h \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота конуса.

Нам даны:

• образующая \( l = 6 \) см,
• угол наклона образующей к плоскости основания \( \alpha = 60° \).

Найдем радиус основания \( r \) и высоту \( h \) из прямоугольного треугольника, образованного образующей, радиусом и высотой:

1. \( \text{sin}(\alpha) = \frac{r}{l} \)
2. \( \text{sin}(60°) = \frac{r}{6} \)
3. \( r = 6 \cdot \text{sin}(60°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см.
4. \( \text{cos}(\alpha) = \frac{h}{l} \)
5. \( \text{cos}(60°) = \frac{h}{6} \)
6. \( h = 6 \cdot \text{cos}(60°) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см.

Теперь найдем площадь осевого сечения:

\( S_{oc} = r \cdot h = 3\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3} \) см².

Ответ: 9\(\sqrt{3}\) см².