417. x dy = (x² cos²(y/x) + 2y) dx.

Решение:

Данное уравнение можно привести к виду \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \cos^2(\frac{y}{x}) + 2y}{x} \).

\( \frac{dy}{dx} = x \cos^2(\frac{y}{x}) + \frac{2y}{x} \)

Это однородное дифференциальное уравнение, так как функция \( f(x, y) = x \cos^2(\frac{y}{x}) + \frac{2y}{x} \) удовлетворяет условию \( f(tx, ty) = t^n f(x, y) \) с \( n=0 \) (если преобразовать к виду \( \frac{dy}{dx} = F(\frac{y}{x}) \)).

Сделаем замену \( z = \frac{y}{x} \), тогда \( y = zx \). Дифференцируем по \( x \): \( \frac{dy}{dx} = z + x\frac{dz}{dx} \).

Подставляем в уравнение:

\( z + x\frac{dz}{dx} = x \cos^2(z) + 2z \)

\( x\frac{dz}{dx} = x \cos^2(z) + z \)

Это уравнение с разделяющимися переменными для \( z \) и \( x \).

\( \frac{dz}{x \cos^2(z) + z} = \frac{dx}{x} \)

Интегрируем обе части:

\( \int \frac{dz}{x \cos^2(z) + z} = \int \frac{dx}{x} \)

Заметим, что правая часть интегрируется легко: \( \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C \).

Интеграл слева, \( \int \frac{dz}{x \cos^2(z) + z} \), выглядит сложно, так как \( x \) не является константой по отношению к \( z \) в этом выражении. Это указывает на то, что исходное уравнение, возможно, было записано с ошибкой, или требует другого подхода. Проверим преобразование:

\( \frac{dy}{dx} = x \cos^2(\frac{y}{x}) + \frac{2y}{x} \) — это не совсем стандартный вид для однородного уравнения \( \frac{dy}{dx} = F(\frac{y}{x}) \).

Давайте попробуем преобразовать исходное уравнение иначе:

\( x dy - 2y dx = x^2 \cos^2(\frac{y}{x}) dx \)

Левая часть \( x dy - 2y dx \) не является полным дифференциалом вида \( d(f(x, y)) \) для простых функций. Однако, если умножить на \( \frac{1}{x^2} \), то \( \frac{x dy - 2y dx}{x^2} = d(\frac{y}{x^2}) \) — это неверно. Но \( d(\frac{y}{x}) = \frac{x dy - y dx}{x^2} \).

Попробуем вернуться к \( \frac{dy}{dx} \) и проверить, является ли уравнение верным дифференциальным.

\( x dy = (x^2 \cos^2(\frac{y}{x}) + 2y) dx \)

\( x \frac{dy}{dx} = x^2 \cos^2(\frac{y}{x}) + 2y \)

\( \frac{dy}{dx} = x \cos^2(\frac{y}{x}) + \frac{2y}{x} \)

Это не является однородным уравнением в стандартном виде \( \frac{dy}{dx} = F(\frac{y}{x}) \), где \( F \) — функция только от \( \frac{y}{x} \).

Возможно, в условии задания есть ошибка. Если бы уравнение было \( \frac{dy}{dx} = \cos^2(\frac{y}{x}) + \frac{2y}{x} \), то оно было бы однородным.

Перепишем: \( x dy - 2y dx = x^2 +cos^2(\frac{y}{x}) dx \)

Предположим, что \( y=vx \), тогда \( dy=vdx+xdv \).

\( x(vdx+xdv) = (x^2+cos^2(v)+2vx) dx \)

\( vx dx + x^2 dv = x^2+cos^2(v) dx + 2vx dx \)

\( x^2 dv = x^2+cos^2(v) dx + vx dx \)

\( x^2 dv = (x^2+cos^2(v) + vx) dx \)

\( \frac{dv}{dx} = \frac{x^2+cos^2(v) + vx}{x^2} \)

\( \frac{dv}{dx} = \cos^2(v) + \frac{v}{x} \)

\( \frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = \cos^2(v) \)

Это уравнение Риккати. Однако, если \( v \) — функция только от \( x \), то \( \frac{dv}{dx} \) также зависит от \( x \).

Вернёмся к \( x\frac{dz}{dx} = x \cos^2(z) + z \). Если \( x \neq 0 \):

\( \frac{dz}{dx} = \cos^2(z) + \frac{z}{x} \)

\( \frac{dz}{dx} - \frac{z}{x} = \cos^2(z) \)

Это уравнение Риккати. Общее решение таких уравнений не всегда выражается в элементарных функциях.

Если предположить, что в условии была опечатка и уравнение выглядит как \( x dy = (y \cos^2(\frac{y}{x}) + 2y) dx \), то \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \cos^2(\frac{y}{x}) + \frac{2y}{x} \) — также не стандартное однородное.

Если уравнение было \( x dy = (y \cos^2(\frac{y}{x}) + y) dx \), то \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \cos^2(\frac{y}{x}) + \frac{y}{x} \) — однородное.

В текущем виде, без дополнительных уточнений или предположений об ошибке, решение этого уравнения может быть затруднительным в рамках стандартной школьной программы.

Ответ: Решение данного дифференциального уравнения в заданном виде представляется сложным и может требовать методов, выходящих за рамки стандартной школьной программы, или предполагать наличие ошибки в условии.