416. x⁴ dy = (y² + 9/4)dx.

Решение:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные:

\( \frac{dy}{y^2 + \frac{9}{4}} = \frac{dx}{x^4} \)

Проинтегрируем обе части:

\( \int \frac{dy}{y^2 + (\frac{3}{2})^2} = \int \frac{dx}{x^4} \)

Левая часть — это интеграл вида \( \int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{u}{a}) \). Правая часть — \( \int x^{-4} dx = -\frac{1}{3}x^{-3} + C \).

\( \frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan(\frac{y}{\frac{3}{2}}) = -\frac{1}{3x^3} + C \)

\( \frac{2}{3} \arctan(\frac{2y}{3}) = -\frac{1}{3x^3} + C \)

Умножим обе части на \( \frac{3}{2} \):

\( \arctan(\frac{2y}{3}) = \frac{3}{2} \left( -\frac{1}{3x^3} + C \right) \)

\( \arctan(\frac{2y}{3}) = -\frac{1}{2x^3} + \frac{3}{2}C \)

Обозначим \( C_1 = \frac{3}{2}C \):

\( \arctan(\frac{2y}{3}) = -\frac{1}{2x^3} + C_1 \)

Применим функцию \( \tan \) к обеим частям:

\( \frac{2y}{3} = \tan(-\frac{1}{2x^3} + C_1) \)

\( y = \frac{3}{2} \tan(-\frac{1}{2x^3} + C_1) \)

Ответ: \( y = \frac{3}{2} \tan(-\frac{1}{2x^3} + C) \)