40) 4sin^2x+9sinxcosx+2cos^2x=0

Решение:

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2x \) (при условии, что \( \cos x \neq 0 \)).

1. \( \frac{4\sin^2x}{\cos^2x} + \frac{9\sin x\cos x}{\cos^2x} + \frac{2\cos^2x}{\cos^2x} = 0 \)
2. \( 4\tan^2x + 9\tan x + 2 = 0 \)
3. Сделаем замену: \( y = \tan x \). Тогда получим квадратное уравнение: \( 4y^2 + 9y + 2 = 0 \).
4. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 \).
5. Найдем корни квадратного уравнения: \( y_1 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 + 7}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \) и \( y_2 = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 - 7}{8} = \frac{-16}{8} = -2 \).
6. Вернёмся к замене:
• \( \tan x = -\frac{1}{4} \implies x = \arctan(-\frac{1}{4}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
• \( \tan x = -2 \implies x = \arctan(-2) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \arctan(-\frac{1}{4}) + \pi n \) и \( x = \arctan(-2) + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).