4. Задание № 339975. Отрезок AB = 40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Решение:

По условию, отрезок AB касается окружности в точке B. Это означает, что радиус OB перпендикулярен касательной AB. Следовательно, \( \angle ABO = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABO:

• Гипотенуза \( AO = \text{радиус} = 75 \).
• Катет \( OB = \text{радиус} = 75 \).
• Катет \( AB = 40 \).

Найдём длину отрезка AO. По условию, отрезок AB касается окружности в точке B, значит OB перпендикулярен AB, т.е. \( \triangle ABO \) — прямоугольный. OB - радиус, AO - радиус, AB - касательная. Значит, \( \angle OBA = 90^{\circ} \).

Длина гипотенузы AO равна радиусу окружности, то есть \( AO = 75 \).

По теореме Пифагора найдём длину катета AB:

\( AO^2 = AB^2 + OB^2 \)

\( 75^2 = AB^2 + 75^2 \)

\( 5625 = AB^2 + 5625 \)

\( AB^2 = 0 \), что противоречит условию \( AB = 40 \).

Переформулируем условие: Отрезок AB касается окружности с центром O в точке B. Радиус окружности равен 75. AB = 40. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

В прямоугольном треугольнике ABO (так как OB — радиус, AB — касательная, \( \angle OBA = 90^{\circ} \)):

• Катет \( OB = 75 \) (радиус).
• Катет \( AB = 40 \).
• Гипотенуза \( AO = \sqrt{OB^2 + AB^2} = \sqrt{75^2 + 40^2} = \sqrt{5625 + 1600} = \sqrt{7225} = 85 \).

Точка D лежит на отрезке AO, и OD — это радиус окружности, то есть \( OD = 75 \).

Тогда \( AD = AO - OD = 85 - 75 = 10 \).

Ответ: 10.