4. Вычислите: \( \frac{3}{8} \cdot \left( \frac{16}{9} - \frac{2}{3} \right) + \frac{5}{12} : \frac{4}{5} \)

Решение:

Для вычисления значения выражения выполним действия в следующем порядке: действия в скобках (вычитание дробей), умножение дробей, деление дробей, сложение.

1. Вычислим разность дробей в скобках. Приведем \( \frac{2}{3} \) к знаменателю 9: \( \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9} \).
2. \( \frac{16}{9} - \frac{6}{9} = \frac{16-6}{9} = \frac{10}{9} \).
3. Умножим \( \frac{3}{8} \) на результат в скобках: \( \frac{3}{8} \cdot \frac{10}{9} = \frac{3 \cdot 10}{8 \cdot 9} = \frac{30}{72} \). Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 6: \( \frac{30}{72} = \frac{5}{12} \).
4. Выполним деление дробей: \( \frac{5}{12} : \frac{4}{5} = \frac{5}{12} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 4} = \frac{25}{48} \).
5. Сложим результаты умножения и деления: \( \frac{5}{12} + \frac{25}{48} \). Приведем \( \frac{5}{12} \) к знаменателю 48: \( \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{20}{48} \).
6. \( \frac{20}{48} + \frac{25}{48} = \frac{20+25}{48} = \frac{45}{48} \).
7. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: \( \frac{45}{48} = \frac{15}{16} \).

Ответ: \( \frac{15}{16} \)