4. В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН – высота. Известно, что АС=84 и ВС=ВМ. Найдите АН.

Дано:

• ∆ABC.
• BM — медиана.
• BH — высота.
• AC = 84.
• BC = BM.

Найти: AH

Решение:

1. Так как BM — медиана, то M — середина стороны AC. Следовательно, AM = MC = AC / 2 = 84 / 2 = 42.
2. В ∆BMC, BM = BC (по условию) и MC = 42.
3. Так как BM = BC, то ∆BMC — равнобедренный треугольник.
4. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой и биссектрисой. Однако, BM — это медиана, а не высота или биссектриса, проведенная к основанию BC.
5. Рассмотрим ∆BHC. BH — высота, значит, ∡BHC = 90°.
6. Рассмотрим ∆BMС. Поскольку BC = BM, то ∆BMC — равнобедренный.
7. В ∆BMC, BH — высота, проведенная из вершины B к основанию MC.
8. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой.
9. Следовательно, H — середина MC.
10. MH = HC = MC / 2 = 42 / 2 = 21.
11. AH = AM + MH = 42 + 21 = 63.
12. Проверка:
13. Если H — середина MC, то BH является высотой и медианой в ∆BMC. Это возможно только если ∆BMC является равнобедренным с BC = BM.
14. AH = AM + MH = AM + MC/2 = AC/2 + AC/4 = 3/4 * AC = 3/4 * 84 = 63.

Ответ: 63