4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведены медиана СМ, биссектриса CD и высота СН. Найдите углы MCD и HCD, если ∠ABC = 28°.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC.
• ∠C = 90°.
• CM - медиана.
• CD - биссектриса.
• CH - высота.
• ∠ABC = 28°.

Найти: ∠MCD и ∠HCD.

Решение:

1. Углы треугольника ABC:
• ∠C = 90°.
• ∠B = 28° (дано).
• ∠A = 180° - 90° - 28° = 62°.
2. Высота CH:
• Высота CH делит угол C на два угла: ∠BCH и ∠ACH.
• В прямоугольном треугольнике BCH: ∠BCH = 180° - 90° - 28° = 62°.
• ∠ACH = 90° - 62° = 28°.
3. Биссектриса CD:
• CD делит прямой угол C пополам: ∠BCD = ∠ACD = 90° / 2 = 45°.
4. Угол HCD:
• ∠HCD = ∠BCD - ∠BCH = 45° - 62°. Это значение отрицательное, что означает, что точка H находится между C и D, когда мы отсчитываем от BC.
• Корректнее: ∠HCD = |∠BCH - ∠BCD| = |62° - 45°| = 17°.
5. Медиана CM:
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть, CM = AM = MB.
• Треугольник CMB равнобедренный (CM = MB), поэтому ∠MCB = ∠MBC = 28°.
6. Угол MCD:
• ∠MCD = ∠BCD - ∠MCB = 45° - 28° = 17°.

Ответ: ∠MCD = 17°, ∠HCD = 17°.