4. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 21; объем пирамиды равен 28. Найдите длину отрезка OS.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде основанием является равносторонний треугольник ABC. Точка O — центр основания. В равностороннем треугольнике биссектрисы являются также медианами и высотами, и пересекаются в одной точке — центре вписанной и описанной окружностей, который является центром основания пирамиды.

Дано:

• Площадь основания \( S_{ABC} = 21 \).
• Объём пирамиды \( V_{пирамиды} = 28 \).

Формула объёма пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{основания} \times h \]

Где \( h \) — высота пирамиды, которая в данном случае равна длине отрезка \( OS \).

Подставим известные значения в формулу объёма:

\[ 28 = \frac{1}{3} \times 21 \times OS \]

Упростим:

\[ 28 = 7 \times OS \]

Выразим \( OS \):

\[ OS = \frac{28}{7} = 4 \]

Ответ: 4.