4. В окружности с центром в точке О проведены хорда АВ и диаметр ВС. Найдите углы треугольника АОС, если ∠AOB=146°.

Задание 4

Дано:

• Окружность с центром \( O \).
• Хорда \( AB \).
• Диаметр \( BC \).
• \( \angle AOB = 146^\circ \).

Найти: углы треугольника \( AOC \) (\( \angle AOC, \angle OAC, \angle OCA \)).

Решение:

1. Угол \( AOB \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AB \).
2. Угол \( AOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AC \).
3. Так как \( BC \) — диаметр, то угол \( BOC \) — развернутый, \( 180^\circ \).
4. Угол \( BOC \) состоит из углов \( BOA \) и \( AOC \) (если точка \( A \) находится на одной дуге с \( C \) относительно \( B \)). Однако, из рисунка видно, что \( \angle BOC = \angle BOA + \angle AOC \) неверно. Правильно, что \( \angle BOC = 180^\circ \) и \( \angle BOA + \angle AOC = \text{развернутый угол} \) если \( A \) лежит на диаметре, что здесь не так.
5. Рассмотрим угол \( BOC \). Так как \( BC \) — диаметр, то \( \angle BOC = 180^\circ \).
6. Углы \( AOB \) и \( AOC \) смежны, если \( B, O, C \) лежат на одной прямой, и \( A \) находится не на этой прямой.
7. Угол \( AOC \) смежен с углом \( AOB \), поэтому: \[ \angle AOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ \]
8. Треугольник \( AOC \) — равнобедренный, так как \( OA = OC \) (радиусы окружности).
9. Углы при основании \( AC \) равны: \[ \angle OAC = \angle OCA \]
10. Сумма углов в треугольнике \( AOC \) равна \( 180^\circ \): \[ \angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^\circ \]
11. Подставим значение \( \angle AOC \) и учтем, что \( \angle OAC = \angle OCA \): \[ 34^\circ + 2 \cdot \angle OAC = 180^\circ \]
12. \( 2 \cdot \angle OAC = 180^\circ - 34^\circ = 146^\circ \)
13. \( \angle OAC = \frac{146^\circ}{2} = 73^\circ \)
14. Следовательно, \( \angle OCA = 73^\circ \).

Ответ: \( \angle AOC = 34^\circ, \angle OAC = 73^\circ, \angle OCA = 73^\circ \).