4. В окружность диаметром 20 вписан прямоугольный треугольник. Его медиана, проведенная к гипотенузе, разбивает этот треугольник на два треугольника с периметрами 36 и 32. Найдите катеты.

Задание 4

Дано:

• Окружность, в которую вписан прямоугольный треугольник.
• Диаметр окружности = 20.
• Медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два.
• Периметр одного треугольника = 36.
• Периметр другого треугольника = 32.

Найти: катеты прямоугольного треугольника.

Решение:

1. Так как прямоугольный треугольник вписан в окружность, его гипотенуза является диаметром этой окружности. Следовательно, гипотенуза равна 20.
2. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Обозначим медиану как 'm'. Тогда m = 20 / 2 = 10.
3. Медиана делит гипотенузу на два отрезка, каждый длиной 10 (так как центр окружности лежит на середине гипотенузы).
4. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны 'a' и 'b', а гипотенуза 'c'. Мы знаем, что c = 20.
5. Медиана делит исходный треугольник на два меньших треугольника. Пусть эти треугольники имеют стороны (a, 10, 10) и (b, 10, 10).
6. Периметр первого треугольника: P1 = a + 10 + 10 = a + 20.
7. Периметр второго треугольника: P2 = b + 10 + 10 = b + 20.
8. По условию, периметры равны 36 и 32.
9. Значит, a + 20 = 36 или a + 20 = 32.
10. Если a + 20 = 36, то a = 36 - 20 = 16.
11. Тогда b + 20 = 32, и b = 32 - 20 = 12.
12. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для катетов 16 и 12 и гипотенузы 20: 16² + 12² = 256 + 144 = 400. А 20² = 400. Теорема Пифагора выполняется.
13. Если бы мы предположили, что a + 20 = 32, то a = 12. Тогда b + 20 = 36, и b = 16. Результат тот же.

Ответ: катеты равны 16 см и 12 см.