4. Упростите выражение \( \frac{3}{8}x^3y(9y^2 - 3x) - (\frac{3}{2}xy)^3 + \frac{9}{8}x^4(x+y) \) и найдите его значение при \( x = -\frac{1}{3} \).

Решение:

Сначала упростим выражение:

1. Раскроем первую скобку:

\( \frac{3}{8}x^3y(9y^2 - 3x) = \frac{3}{8}x^3y \cdot 9y^2 - \frac{3}{8}x^3y \cdot 3x = \frac{27}{8}x^3y^3 - \frac{9}{8}x^4y \)

2. Возведём в куб второй член:

\( (\frac{3}{2}xy)^3 = (\frac{3}{2})^3 x^3 y^3 = \frac{27}{8}x^3y^3 \)

3. Раскроем третью скобку:

\( \frac{9}{8}x^4(x+y) = \frac{9}{8}x^4 \cdot x + \frac{9}{8}x^4 \cdot y = \frac{9}{8}x^5 + \frac{9}{8}x^4y \)

Теперь подставим всё в исходное выражение:

\( \frac{27}{8}x^3y^3 - \frac{9}{8}x^4y - \frac{27}{8}x^3y^3 + \frac{9}{8}x^5 + \frac{9}{8}x^4y \)

Сократим подобные члены:

\( (\frac{27}{8}x^3y^3 - \frac{27}{8}x^3y^3) + (-\frac{9}{8}x^4y + \frac{9}{8}x^4y) + \frac{9}{8}x^5 \)

Упрощённое выражение: \( \frac{9}{8}x^5 \)

Теперь подставим \( x = -\frac{1}{3} \):

\( \frac{9}{8} \left(-\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{9}{8} \left(-\frac{1}{243}\right) = -\frac{9}{8 \cdot 243} = -\frac{1}{8 \cdot 27} = -\frac{1}{216} \)

Ответ: \( -\frac{1}{216} \).