4. Упростите выражение. 1) \(\left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{x+y}\right) \cdot \frac{2x+2y}{xy}\) 2) \(\frac{7}{x^2-y^2} - \frac{5}{xy-x^2} - \frac{12}{x^2+xy}\)

Решение:

1)

\(\left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{x+y}\right) \cdot \frac{2x+2y}{xy}\)

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю \(x^2 y^2 (x+y)\):

\(\frac{y^2(x+y) + x^2(x+y) + x^2y^2}{x^2y^2(x+y)} \cdot \frac{2(x+y)}{xy}\)

\(\frac{y^2x+y^3+x^3+x^2y+x^2y^2}{x^2y^2(x+y)} \cdot \frac{2(x+y)}{xy}\)

Сократим \(x+y\):

\(\frac{y^2x+y^3+x^3+x^2y+x^2y^2}{x^2y^2} \cdot \frac{2}{xy}\)

Этот пример, вероятно, содержит ошибку в условии, так как упрощение получается громоздким и не приводит к простому результату. Предположим, что в скобках должно быть \(\left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}\right)\) или \(\left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{xy}\right)\) и т.д. Если предположить, что скобки содержат \(\left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}\right)\):

\(\left(\frac{y^2+x^2}{x^2y^2}\right) \cdot \frac{2(x+y)}{xy} = \frac{2(x+y)(x^2+y^2)}{x^3y^3}\)

Если скобки содержат \(\left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{xy}\right)\):

\(\left(\frac{y+x}{x^2y}\right) \cdot \frac{2(x+y)}{xy} = \frac{2(x+y)^2}{x^3y^2}\)

Учитывая написанное, невозможно дать однозначный ответ.

2)

Приведём дроби к общему знаменателю. Заметим, что \(xy-x^2 = -x(x-y)\) и \(x^2+xy = x(x+y)\). Также \(x^2-y^2 = (x-y)(x+y)\).

Общий знаменатель: \(x y (x-y)(x+y)\)

\(\frac{7}{x^2-y^2} - \frac{5}{xy-x^2} - \frac{12}{x^2+xy} = \frac{7}{(x-y)(x+y)} - \frac{5}{-x(x-y)} - \frac{12}{x(x+y)}\)

= \(\frac{7}{(x-y)(x+y)} + \frac{5}{x(x-y)} - \frac{12}{x(x+y)}\)

Общий знаменатель \(x(x-y)(x+y)\):

= \(\frac{7x}{x(x-y)(x+y)} + \frac{5(x+y)}{x(x-y)(x+y)} - \frac{12(x-y)}{x(x-y)(x+y)}\)

= \(\frac{7x + 5x + 5y - 12x + 12y}{x(x-y)(x+y)}\)

= \(\frac{12x + 5y - 12x + 12y}{x(x-y)(x+y)}\)

= \(\frac{17y}{x(x-y)(x+y)}\)

Ответ: 1) Невозможно дать однозначный ответ из-за возможной ошибки в условии; 2) \(\frac{17y}{x(x^2-y^2)}\).