4. Упростить выражение cos 3a / sin a + sin 3a / cos a

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю:

\( \frac{\cos 3a}{\sin a} + \frac{\sin 3a}{\cos a} = \frac{\cos 3a \cdot \cos a + \sin 3a \cdot \sin a}{\sin a \cdot \cos a} \).

Используем формулу косинуса разности: \( \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \). В нашем случае \( x = 3a, y = a \).

\( \cos 3a \cos a + \sin 3a \sin a = \cos(3a - a) = \cos 2a \).

Знаменатель можно упростить, используя формулу синуса двойного угла: \( \sin 2a = 2 \sin a \cos a \). Следовательно, \( \sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2a \).

Таким образом, выражение принимает вид:

\( \frac{\cos 2a}{\frac{1}{2} \sin 2a} = \frac{2 \cos 2a}{\sin 2a} = 2 \cot 2a \).

Ответ: \( 2 \cot 2a \).