1. Решить неравенства: 1.1. x²-6x+8 / x+1 ≥ 0. 1.2.√x² + 3x-10 ≥ √x -2.

Решение:

1.1. Решение неравенства:

Разложим числитель на множители: \( x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) \).

Неравенство принимает вид: \( \frac{(x - 2)(x - 4)}{x + 1} \ge 0 \).

Используем метод интервалов. Корни числителя: \( x = 2, x = 4 \). Корень знаменателя: \( x = -1 \).

Рассмотрим знаки выражений на интервалах:

• \( x < -1 \): \( \frac{(-)(-) }{(-)} = (-) \)
• \( -1 < x \le 2 \): \( \frac{(-)(-)}{(+)} = (+) \)
• \( 2 \le x \le 4 \): \( \frac{(+)(-)}{(+)} = (-) \)
• \( x \ge 4 \): \( \frac{(+)(+)}{(+)} = (+) \)

Учитывая \( x
e -1 \), получаем решение \( x \in (-1; 2] \cup [4; \infty) \).

1.2. Решение неравенства:

ОДЗ: \( x^2 + 3x - 10 \ge 0 \) и \( x \ge 0 \).

Решим \( x^2 + 3x - 10 \ge 0 \). Корни \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) равны \( x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-10)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} \), то есть \( x_1 = -5, x_2 = 2 \). Таким образом, \( x^2 + 3x - 10 \ge 0 \) при \( x \in (-\infty; -5] \cup [2; \infty) \).

Учитывая \( x \ge 0 \), ОДЗ: \( x ∈ [2; \infty) \).

Возведём обе части неравенства в квадрат: \( x^2 + 3x - 10 \ge x - 2 \).

Перенесём всё в левую часть: \( x^2 + 2x - 8 \ge 0 \).

Корни \( x^2 + 2x - 8 = 0 \) равны \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-8)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \), то есть \( x_1 = -4, x_2 = 2 \).

Решение \( x^2 + 2x - 8 \ge 0 \) — \( x \in (-\infty; -4] \cup [2; \infty) \).

Пересекая с ОДЗ \( x ∈ [2; \infty) \), получаем решение \( x \in [2; \infty) \).

Ответ: 1.1. \( x \in (-1; 2] \cup [4; \infty) \). 1.2. \( x \in [2; \infty) \).