4. Треугольник ABC. AB = 9 см. Угол C = 30°. Найдите сторону AC, если BC = 18 см.

Задание 4. Сторона треугольника

Дано:

• Треугольник ABC.
• AB = 9 см.
• Угол C = 30°.
• BC = 18 см.

Найти: сторону AC.

Решение:

Чтобы найти сторону AC, нам нужно знать, является ли треугольник прямоугольным. Поскольку дан угол C = 30°, можно предположить, что угол B — прямой (90°). В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Гипотенузой в этом случае будет сторона AB.

1. Если \( \angle B = 90^\circ \), то AB — катет, а BC — гипотенуза (так как она противолежит наибольшему углу, который мог бы быть, но это не обязательно).
2. Однако, если \( \angle B = 90^\circ \), то AB = 9 см — это катет, а BC = 18 см — это гипотенуза, что невозможно, так как гипотенуза должна быть самой длинной стороной.
3. Поэтому, предположим, что угол B не прямой. Если угол A = 90°, то BC — гипотенуза, а AB и AC — катеты. Тогда \( AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{18^2 - 9^2} = \sqrt{324 - 81} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \) см.
4. Рассмотрим случай, когда угол B = 90°. Тогда AB = 9 см (катет), BC = 18 см (катет), AC — гипотенуза. \( AC = \sqrt{9^2 + 18^2} = \sqrt{81 + 324} = \sqrt{405} = 9\sqrt{5} \) см.
5. Однако, если в условии задачи \( \angle C = 30^\circ \) и \( BC = 18 \) см, а \( AB = 9 \) см, и нам нужно найти AC, то, возможно, используется теорема синусов или косинусов.
6. По теореме синусов: \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \)
7. \( \frac{9}{\sin 30^\circ} = \frac{18}{\sin A} \)
8. \( \frac{9}{0.5} = 18 \).
9. \( 18 = \frac{18}{\sin A} \)
10. \( \sin A = \frac{18}{18} = 1 \).
11. Значит, \( \angle A = 90^\circ \).
12. Теперь мы знаем, что треугольник прямоугольный с прямым углом A. BC — гипотенуза, AB и AC — катеты.
13. Используем теорему Пифагора: \[ AC^2 + AB^2 = BC^2 \].
14. Выразим AC: \[ AC^2 = BC^2 - AB^2 \].
15. Подставим значения: \[ AC^2 = 18^2 - 9^2 \].
16. Вычислим квадраты: \[ AC^2 = 324 - 81 \].
17. Вычтем: \[ AC^2 = 243 \].
18. Извлечем квадратный корень: \[ AC = \sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3} \] см.

Ответ: AC = \( 9\sqrt{3} \) см.