4) tg 3x = tg x

Решение:

1. Уравнение \( g A = g B \) равносильно \( A = B + \pi k \), где \( k \) — целое число, при условии, что \( A \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \) и \( B \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \).
2. В нашем случае \( A = 3x \) и \( B = x \).
3. \( 3x = x + \pi k \).
4. Перенесём \( x \) в левую часть: \( 3x - x = \pi k \).
5. \( 2x = \pi k \).
6. Разделим на \( 2 \): \( x = \frac{\pi k}{2} \), где \( k \) — целое число.
7. Проверка условий:
• \( 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n ⇒ 3 \cdot \frac{\pi k}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n ⇒ \frac{3k}{2} \neq \frac{1+2n}{2} ⇒ 3k \neq 1+2n \). Это верно, так как \( 3k \) — целое, а \( 1+2n \) — нечётное, поэтому \( 3k \) может быть равно \( 1+2n \) только если \( k \) не целое, что невозможно.
• \( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m ⇒ \frac{\pi k}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi m ⇒ \frac{k}{2} \neq \frac{1+2m}{2} ⇒ k \neq 1+2m \). Это верно, так как \( k \) может быть как чётным, так и нечётным. Если \( k = 1+2m \) (т.е. \( k \) нечётное), то \( x = \frac{\pi (1+2m)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \), что является недопустимым значением для \( g x \).
• Следовательно, нужно исключить случаи, когда \( k \) нечётное.
• Это означает, что \( k \) должно быть чётным. Пусть \( k = 2j \), где \( j \) — целое число.
• Тогда \( x = \frac{\pi (2j)}{2} = \pi j \).

Ответ: \( x = \pi j \), где \( j \) — целое число.