4. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см². Найти площадь полной поверхности параллелепипеда, объём параллелепипеда.

Решение:

Для решения задачи нам необходимо найти высоту параллелепипеда, площадь основания, площадь боковой поверхности и затем площадь полной поверхности и объем.

Дано:

• Прямой параллелепипед
• Стороны основания ($$a$$) = 8 см, ($$b$$) = 15 см
• Угол между сторонами основания ($$γ$$) = 60°
• Площадь меньшего диагонального сечения ($$S_{d1}$$) = 130 см²

Найти:

• Площадь полной поверхности ($$S_{полной}$$)
• Объём ($$V$$)

1. Находим площадь основания ($$S_{осн}$$):

• $$S_{осн} = a · b · ext{sin}(γ) = 8 ext{ см} · 15 ext{ см} · ext{sin}(60°) = 120 · rac{√{3}}{2} = 60√{3}$$ см²

2. Находим высоту параллелепипеда ($$h$$):

• Диагональные сечения проходят через противоположные боковые ребра. Длины диагоналей основания ($$d_1, d_2$$) можно найти по теореме косинусов:
• $$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab ext{cos}(γ) = 8^2 + 15^2 - 2 · 8 · 15 · ext{cos}(60°) = 64 + 225 - 240 · rac{1}{2} = 289 - 120 = 169$$. $$d_1 = √{169} = 13$$ см.
• $$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab ext{cos}(180° - γ) = 8^2 + 15^2 - 2 · 8 · 15 · ext{cos}(120°) = 64 + 225 - 240 · (-rac{1}{2}) = 289 + 120 = 409$$. $$d_2 = √{409}$$ см.
• Диагональные сечения имеют площади $$S_{d1} = d_1 · h$$ и $$S_{d2} = d_2 · h$$.
• Меньшая площадь диагонального сечения соответствует меньшей диагонали основания.
• $$S_{d1} = d_1 · h · 1 = 130$$ см².
• $$13 ext{ см} · h = 130 ext{ см}^2$$.
• $$h = 130 ext{ см}^2 / 13 ext{ см} = 10$$ см.

3. Находим площадь полной поверхности ($$S_{полной}$$):

• $$S_{полной} = 2 · S_{осн} + S_{бок}$$
• $$S_{бок} = (2a + 2b) · h = (2 · 8 ext{ см} + 2 · 15 ext{ см}) · 10 ext{ см} = (16 ext{ см} + 30 ext{ см}) · 10 ext{ см} = 46 ext{ см} · 10 ext{ см} = 460$$ см².
• $$S_{полной} = 2 · 60√{3} ext{ см}^2 + 460 ext{ см}^2 = 120√{3} + 460$$ см².

4. Находим объём ($$V$$):

• $$V = S_{осн} · h = 60√{3} ext{ см}^2 · 10 ext{ см} = 600√{3}$$ см³.

Ответ:

• Площадь полной поверхности: $$(460 + 120√{3})$$ см²
• Объём: $$600√{3}$$ см³