3. В правильной четырёхугольной пирамиде со стороной основания 6 см и длиной бокового ребра √50 см найти косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания и площадь боковой поверхности.

Решение:

Для решения задачи нам понадобится найти апофему пирамиды и использовать свойства правильной четырехугольной пирамиды.

Дано:

• Правильная четырёхугольная пирамида
• Сторона основания ($$a$$) = 6 см
• Боковое ребро ($$l$$) = $$√{50}$$ см

Найти:

• Косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания ($$ ext{cos } α$$)
• Площадь боковой поверхности ($$S_{бок}$$ )

1. Находим косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания:

• Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между боковым ребром и его проекцией на плоскость основания. Проекцией бокового ребра является половина диагонали основания.
• Диагональ основания ($$d$$) = $$a√{2} = 6√{2}$$ см.
• Половина диагонали основания ($$d/2$$) = $$3√{2}$$ см.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром ($$l$$), проекцией бокового ребра ($$d/2$$) и высотой пирамиды ($$h$$).
• $$ ext{cos } α = rac{ ext{прилежащий катет}}{ ext{гипотенуза}} = rac{d/2}{l} = rac{3√{2}}{√{50}} = rac{3√{2}}{√{25 · 2}} = rac{3√{2}}{5√{2}} = rac{3}{5} = 0.6$$

2. Находим площадь боковой поверхности:

• $$S_{бок} = rac{1}{2} · P_{основания} · апофема$$
• $$P_{основания} = 4a = 4 · 6 ext{ см} = 24 ext{ см}$$
• Чтобы найти апофему ($$h_{a}$$), рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и половиной стороны основания.
• Сначала найдем высоту пирамиды ($$h$$): $$h^2 = l^2 - (d/2)^2 = (√{50})^2 - (3√{2})^2 = 50 - (9 · 2) = 50 - 18 = 32$$. $$h = √{32} = 4√{2}$$ см.
• Теперь найдем апофему: $$h_a^2 = h^2 + (a/2)^2 = (4√{2})^2 + (6/2)^2 = 32 + 3^2 = 32 + 9 = 41$$. $$h_a = √{41}$$ см.
• $$S_{бок} = rac{1}{2} · 24 ext{ см} · √{41} ext{ см} = 12√{41} ext{ см}^2$$

Ответ:

• Косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания: 0.6
• Площадь боковой поверхности: $$12√{41}$$ см²