4. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0, 6. Диаметр описанной около него окружности равен 10. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника. Пусть \( \alpha \) — угол между стороной \( a \) и диагональю \( d \). Тогда \( \sin \alpha = \frac{b}{d} \), где \( b \) — другая сторона прямоугольника.

1. Дано: \( \sin \alpha = 0.6 \), \( d = 10 \).
2. Найдём сторону \( b \): \( b = d \cdot \sin \alpha = 10 \cdot 0.6 = 6 \).
3. Диагональ и стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = d^2 \).
4. Найдём сторону \( a \): \( a^2 + 6^2 = 10^2 \) \( a^2 + 36 = 100 \) \( a^2 = 64 \) \( a = \sqrt{64} = 8 \).
5. Найдём площадь прямоугольника: \( S = a \cdot b = 8 \cdot 6 = 48 \).

Ответ: 48.