3. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 5/13. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника. Пусть \( \alpha \) — угол между стороной \( a \) и диагональю \( d \). Тогда \( \sin \alpha = \frac{b}{d} \), где \( b \) — другая сторона прямоугольника.

1. Дано: \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \), \( d = 26 \).
2. Найдём сторону \( b \): \( b = d \cdot \sin \alpha = 26 \cdot \frac{5}{13} = 2 \cdot 5 = 10 \).
3. Диагональ и стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = d^2 \).
4. Найдём сторону \( a \): \( a^2 + 10^2 = 26^2 \) \( a^2 + 100 = 676 \) \( a^2 = 576 \) \( a = \sqrt{576} = 24 \).
5. Найдём площадь прямоугольника: \( S = a \cdot b = 24 \cdot 10 = 240 \).

Ответ: 240.