4. Решите уравнение: (x²-6x)²-2(х-3)²=81

Решение:

Уравнение: \( (x^2-6x)^2 - 2(x-3)^2 = 81 \)

Заметим, что \( x^2 - 6x = x(x-6) \) и \( (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \).

Пусть \( y = (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \). Тогда \( x^2 - 6x = y - 9 \).

Подставим в уравнение:

\( (y-9)^2 - 2y = 81 \)

\( y^2 - 18y + 81 - 2y = 81 \)

\( y^2 - 20y = 0 \)

\( y(y-20) = 0 \)

Значит, \( y=0 \) или \( y=20 \).

Случай 1: \( y=0 \)

\( (x-3)^2 = 0 \) \( \implies x-3 = 0 \) \( \implies x = 3 \)

Случай 2: \( y=20 \)

\( (x-3)^2 = 20 \) \( \implies x-3 = \pm\sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5} \) \( \implies x = 3 \pm 2\sqrt{5} \)

Ответ: 3; 3 + 2√5; 3 - 2√5.