4. Решите уравнение: (x-2)(x+2) = 3(x+4)²-2x(x+5)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Раскроем скобки в левой части уравнения.
   Используем формулу разности квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2} \)
   \( (x-2)(x+2) = x^{2} - 2^{2} = x^{2} - 4 \)
2. Шаг 2: Раскроем скобки в правой части уравнения.
   Сначала раскроем квадрат суммы: \( (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \)
   \( 3(x+4)^{2} = 3(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 3(x^{2} + 8x + 16) = 3x^{2} + 24x + 48 \)
   Затем раскроем произведение: \( -2x(x+5) = -2x^{2} - 10x \)
3. Шаг 3: Запишем уравнение с раскрытыми скобками.
   \( x^{2} - 4 = (3x^{2} + 24x + 48) + (-2x^{2} - 10x) \)
   \( x^{2} - 4 = 3x^{2} + 24x + 48 - 2x^{2} - 10x \)
4. Шаг 4: Приведем подобные слагаемые в правой части.
   \( x^{2} - 4 = (3x^{2} - 2x^{2}) + (24x - 10x) + 48 \)
   \( x^{2} - 4 = x^{2} + 14x + 48 \)
5. Шаг 5: Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение.
   \( x^{2} - 4 - x^{2} - 14x - 48 = 0 \)
   \( (x^{2} - x^{2}) - 14x + (-4 - 48) = 0 \)
   \( 0 - 14x - 52 = 0 \)
   \( -14x - 52 = 0 \)
6. Шаг 6: Решим линейное уравнение.
   \( -14x = 52 \)
   \( x = \frac{52}{-14} \)
   \( x = -\frac{26}{7} \)

Ответ: \( x = -\frac{26}{7} \)