4. Решите уравнение: a) sqrt(7 - x^2) = sqrt(-6x); б) 2sin x - 1 = 0.

Решение:

1. а) Решение уравнения с корнями:
   \( \sqrt{7 - x^2} = \sqrt{-6x} \)
   Возведем обе части уравнения в квадрат:
   \( 7 - x^2 = -6x \)
   Перенесем все члены в одну сторону:
   \( x^2 - 6x - 7 = 0 \)
   Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-6)^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64 \).
   Корни: \( x_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = 7 \) и \( x_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = -1 \>.
   Проверим корни.
   Для \( x = 7 \): \( \sqrt{7 - 7^2} = \sqrt{7 - 49} = \sqrt{-42} \) — не имеет смысла.
   Для \( x = -1 \): \( \sqrt{7 - (-1)^2} = \sqrt{7 - 1} = \sqrt{6} \) и \( \sqrt{-6(-1)} = \sqrt{6} \). Корень \( x = -1 \) подходит.
2. б) Решение тригонометрического уравнения:
   \( 2\sin x - 1 = 0 \)
   \( 2\sin x = 1 \)
   \( \sin x = \frac{1}{2} \)
   Общее решение уравнения \( \sin x = \frac{1}{2} \) имеет вид:
   \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: а) \( x = -1 \); б) \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).