4. Решите неравенство \( \frac{4x - 4}{6} \ge \frac{8}{9x + 6} \).

Задание 4. Решение неравенства

Дано: неравенство \( \frac{4x - 4}{6} \ge \frac{8}{9x + 6} \).

Найти: решение неравенства.

Решение:

1. Перенесём все члены неравенства в левую часть, чтобы получить \( \ge 0 \): \( \frac{4x - 4}{6} - \frac{8}{9x + 6} \ge 0 \).
2. Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и \( 9x+6 \) равен \( 6(9x+6) = 54x + 36 \).
3. \( \frac{(4x - 4)(9x + 6)}{6(9x + 6)} - \frac{8 \cdot 6}{6(9x + 6)} \ge 0 \)
4. \( \frac{36x^2 + 24x - 36x - 24 - 48}{54x + 36} \ge 0 \)
5. \( \frac{36x^2 - 12x - 72}{54x + 36} \ge 0 \)
6. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе: \( \frac{12(3x^2 - x - 6)}{18(3x + 2)} \ge 0 \)
7. Сократим дробь на 6: \( \frac{2(3x^2 - x - 6)}{3(3x + 2)} \ge 0 \).
8. Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение \( 3x^2 - x - 6 = 0 \):
• Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 1 + 72 = 73 \).
• \( x = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{6} \).
9. Найдем корень знаменателя: \( 3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3} \).
10. Определим интервалы на числовой оси с помощью метода интервалов. Коэффициент перед \( x^2 \) в числителе положителен, значит, парабола направлена вверх.
11. Интервалы: \( (-\infty, \frac{1-\sqrt{73}}{6}) \], \( [\frac{1-\sqrt{73}}{6}, -\frac{2}{3}) \), \( (-\frac{2}{3}, \frac{1+\sqrt{73}}{6}] \), \( [\frac{1+\sqrt{73}}{6}, \infty) \).
12. \( \sqrt{73} \) примерно равно 8.5.
13. \( x_1 = \frac{1 - 8.5}{6} = \frac{-7.5}{6} = -1.25 \).
14. \( x_2 = -2/3 \approx -0.67 \).
15. \( x_3 = \frac{1 + 8.5}{6} = \frac{9.5}{6} \approx 1.58 \).
16. Расставляем знаки на интервалах: \( + \), \( - \), \( + \), \( - \).
17. Нам нужно \( \ge 0 \), поэтому выбираем интервалы со знаком \( + \).

Ответ: \( x \in \left(-\infty; \frac{1-\sqrt{73}}{6}\right] \cup \left(-\frac{2}{3}; \frac{1+\sqrt{73}}{6}\right] \).