4. Решите неравенство: 6x-x^2>0

Решение:

1. Вынесем общий множитель x за скобки:
   \( x(6-x) > 0 \)
2. Найдем корни уравнения \( x(6-x) = 0 \). Корни равны \( x = 0 \) и \( x = 6 \).
3. Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty; 0) \), \( (0; 6) \) и \( (6; +\infty) \).
4. Проверим знак выражения \( x(6-x) \) в каждом интервале:
• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( -1(6 - (-1)) = -1(7) = -7 < 0 \) (не подходит).
• При \( 0 < x < 6 \) (например, \( x = 3 \)): \( 3(6 - 3) = 3(3) = 9 > 0 \) (подходит).
• При \( x > 6 \) (например, \( x = 7 \)): \( 7(6 - 7) = 7(-1) = -7 < 0 \) (не подходит).
5. Таким образом, решение неравенства — это интервал, где выражение положительно.

Ответ: (0; 6)