4. Решить систему уравнений: 9^x+y = 729, 3^x-y-1 = 3

Решение:

1. Перепишем первое уравнение в виде степени тройки: \( 9^{x+y} = (3^2)^{x+y} = 3^{2(x+y)} \). Так как \( 729 = 3^6 \), то \( 3^{2(x+y)} = 3^6 \).
2. Отсюда следует: \( 2(x+y) = 6 \) → \( x+y = 3 \).
3. Перепишем второе уравнение, приведя правую часть к степени тройки: \( 3^{x-y-1} = 3^1 \).
4. Отсюда следует: \( x-y-1 = 1 \) → \( x-y = 2 \).
5. Теперь у нас есть система линейных уравнений: \( \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 2 \end{cases} \).
6. Сложим оба уравнения: \( (x+y) + (x-y) = 3+2 \) → \( 2x = 5 \) → \( x = \frac{5}{2} = 2.5 \).
7. Подставим значение \( x \) в первое уравнение: \( 2.5 + y = 3 \) → \( y = 3 - 2.5 = 0.5 \).

Ответ: \( x = 2.5, y = 0.5 \).