11. Решить уравнение: 6cos²x + 7sinx - 7 = 0 и найти его корни, принадлежащие отрезку [π; 3π]

Решение:

1. Заменим \( \cos^2x \) на \( 1 - \sin^2x \): \( 6(1 - \sin^2x) + 7\sin x - 7 = 0 \).
2. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: \( 6 - 6\sin^2x + 7\sin x - 7 = 0 \) → \( -6\sin^2x + 7\sin x - 1 = 0 \) → \( 6\sin^2x - 7\sin x + 1 = 0 \).
3. Введём замену \( t = \sin x \). Получим квадратное уравнение: \( 6t^2 - 7t + 1 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 \). \( t_1 = \frac{7 + 5}{12} = 1 \), \( t_2 = \frac{7 - 5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).
5. Вернёмся к замене: \( \sin x = 1 \) или \( \sin x = \frac{1}{6} \).
6. Решим \( \sin x = 1 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
7. Решим \( \sin x = \frac{1}{6} \): \( x = \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k \) или \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
8. Выберем корни, принадлежащие отрезку \( [\pi; 3\pi] \).
9. Для \( \sin x = 1 \): При \( k=1 \), \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \). Этот корень принадлежит отрезку.
10. Для \( \sin x = \frac{1}{6} \): \( \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \) — это угол в первой четверти. \( \pi - \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \) — угол во второй четверти.
11. При \( k=0 \): \( x = \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \) — не входит в отрезок. \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \) — не входит в отрезок.
12. При \( k=1 \): \( x = \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi \) — входит в отрезок. \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi = 3\pi - \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \) — входит в отрезок.

Ответ: \( \frac{5\pi}{2} \); \( \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi \); \( 3\pi - \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \).