4. Решить дифференциальные уравнения:

Решение:

1. Первое уравнение: \( y'' + 5y' + 6y = 0 \)

   Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:

   \[ r^2 + 5r + 6 = 0 \]
   

   Найдем корни характеристического уравнения:

   
   

   \[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]
   \[ r_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \]
   \[ r_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 - 1}{2} = -3 \]
   

   Так как корни действительные и различные, общее решение имеет вид:

   
   

   \[ y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \]
   \[ y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} \]

2. Второе уравнение: \( y' = 3x^2 y^6 \)

   Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

   
   \[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 y^6 \]
   \[ \frac{dy}{y^6} = 3x^2 dx \]
   

   Проинтегрируем обе части:

   
   \[ \int \frac{dy}{y^6} = \int 3x^2 dx \]
   \[ \int y^{-6} dy = \int 3x^2 dx \]
   \[ \frac{y^{-5}}{-5} = 3 \frac{x^3}{3} + C \]
   \[ -\frac{1}{5y^5} = x^3 + C \]
   

   Выразим \( y \):

   
   \[ y^5 = \frac{-1}{5(x^3 + C)} \]
   \[ y = \left( \frac{-1}{5(x^3 + C)} \right)^{1/5} \]
   

   Также, если \( y = 0 \), то \( y' = 0 \), что удовлетворяет исходному уравнению. Таким образом, \( y = 0 \) является особым решением.

Ответ: 1) \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} \); 2) \( y = \left( \frac{-1}{5(x^3 + C)} \right)^{1/5} \) или \( y = 0 \).