№ 4. Равны ли ∠KBA и ∠PBE? Найдите угол PBE.

Решение:

1. Равенство углов: Углы ∠KBA и ∠PBE являются вертикальными углами. Вертикальные углы всегда равны.
2. Нахождение ∠PBE:
3. Рассмотрим треугольник AOB: Треугольник AOB является равнобедренным, так как OA и OB — радиусы окружности.
4. Угол ∠AOB: Из диаграммы видно, что ∠AOF = 30°. Угол ∠AOB является развернутым углом, если P, O, F лежат на одной прямой. Однако, на диаграмме P, O, F являются точками, и ∠AOF = 30°, ∠FOB = 30°. Значит ∠AOB = ∠AOF + ∠FOB = 30° + 30° = 60°.
5. Углы при основании равнобедренного треугольника AOB: Так как △AOB равнобедренный и ∠AOB = 60°, то углы при основании равны:
   \[ ∠OAB = ∠OBA = \frac{180° - 60°}{2} = \frac{120°}{2} = 60° \]
6. Следовательно, треугольник AOB является равносторонним.
7. Угол PBE: Поскольку ∠KBA = ∠PBE, и мы нашли, что ∠OBA = 60°, то ∠PBE = 60°.

Ответ: ∠KBA = ∠PBE. ∠PBE = 60°.