4) Равнобедренный прямоугольный треугольник вписан в окружность центром О и диаметром 12 см. Найдите его высоту, опущенную из прямого угла на гипотенузу.

Решение:

Равнобедренный прямоугольный треугольник вписан в окружность. Диаметр окружности равен 12 см, следовательно, радиус равен 6 см.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности. Значит, гипотенуза данного треугольника равна 12 см.

Пусть катеты треугольника равны a. По теореме Пифагора:

\[ a^2 + a^2 = 12^2 \]

\[ 2a^2 = 144 \]

\[ a^2 = 72 \]

\[ a = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ см} \]

Площадь треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $$S = \frac{1}{2}  a  a = \frac{1}{2}  a^2$$.
2. Через гипотенузу и высоту: $$S = \frac{1}{2}  c  h_c$$, где $$c$$ - гипотенуза, $$h_c$$ - высота, опущенная на гипотенузу.

Подставляем известные значения:

Из первого способа: $$S = \frac{1}{2}  72 = 36$$ см².

Теперь используем второй способ, чтобы найти высоту $$h_c$$:

\[ 36 = \frac{1}{2}  12  h_c \]

\[ 36 = 6  h_c \]

\[ h_c = \frac{36}{6} = 6 \text{ см} \]

Ответ: 6 см