4. Прямая CD касается окружности с центром О и радиусом 5 см в точке D (см. рис. 155). Найдите ОС, если угол COD = 60°.

Задание 4. Касательная к окружности

Дано:

• Прямая CD касается окружности с центром O в точке D.
• Радиус окружности OD = 5 см.
• Угол COD = 60°.

Найти: длину отрезка OC.

Решение:

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, угол ODC является прямым:

\( \angle ODC = 90^\circ \)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ODC. В нем:

• Катет OD (радиус) равен 5 см.
• Угол COD равен 60°.
• Угол OCD равен \( 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. В нашем случае:

• Угол OCD равен 30°.
• Катет, лежащий напротив этого угла, — OD.
• Гипотенуза — OC.

Следовательно:

\[ OD = \frac{1}{2} OC \]

Выразим OC:

\[ OC = 2 \cdot OD \]

\[ OC = 2 \cdot 5 = 10 \] см.

Ответ: OC = 10 см.