4) При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх, шарик массой 100 г поднимается на высоту 2 м. Какова жесткость пружины, если до выстрела она была сжата на 5 см. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение:

В данном случае применим закон сохранения энергии. Энергия сжатой пружины переходит в потенциальную энергию шарика на максимальной высоте подъёма.

1. Перевод единиц измерения:

• Масса шарика: \( m = 100 \; \text{г} = 0.1 \; \text{кг} \)
• Сжатие пружины: \( x = 5 \; \text{см} = 0.05 \; \text{м} \)
• Высота подъёма: \( h = 2 \; \text{м} \)

2. Формулы:

• Энергия сжатой пружины (потенциальная энергия упругой деформации): \( E_{пружины} = \frac{1}{2} k x^2 \), где \( k \) — жёсткость пружины, \( x \) — сжатие.
• Потенциальная энергия шарика на максимальной высоте: \( E_{p} = mgh \), где \( m \) — масса шарика, \( g \) — ускорение свободного падения (примем \( g = 10 \; \text{м/с}^2 \)), \( h \) — высота подъёма.

3. Приравниваем энергии:

Так как сопротивлением воздуха пренебрегаем, энергия сжатой пружины полностью переходит в потенциальную энергию шарика на максимальной высоте:

\( E_{пружины} = E_{p} \)

\( \frac{1}{2} k x^2 = mgh \)

4. Вычисляем жёсткость пружины (k):

Выразим \( k \) из уравнения:

\( k = \frac{2mgh}{x^2} \)

Подставим значения:

\( k = \frac{2 × 0.1 \; \text{кг} × 10 \; \text{м/с}^2 × 2 \; \text{м}}{(0.05 \; \text{м})^2} \)

\( k = \frac{4}{(0.05)^2} \; \text{Н/м} \)

\( k = \frac{4}{0.0025} \; \text{Н/м} \)

\( k = 1600 \; \text{Н/м} \)

Ответ: Жёсткость пружины равна 1600 Н/м.