4. Представить в виде произведения: 4.1. sin α - cos α 4.2. (sin 130° + sin 110°) / (cos 130° + cos 110°)

4.1. Представление в виде произведения:

Чтобы представить \( \sin(\alpha) - \cos(\alpha) \) в виде произведения, воспользуемся тем, что \( \cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \).

\( \sin(\alpha) - \cos(\alpha) = \sin(\alpha) - \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \).

Теперь используем формулу разности синусов: \( \sin X - \sin Y = 2 \cos(\frac{X+Y}{2}) \sin(\frac{X-Y}{2}) \).

Пусть \( X = \alpha \) и \( Y = \frac{\pi}{2} - \alpha \).

\( \frac{X+Y}{2} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{2} - \alpha}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \).

\( \frac{X-Y}{2} = \frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} = \frac{\alpha - \frac{\pi}{2} + \alpha}{2} = \frac{2\alpha - \frac{\pi}{2}}{2} = \alpha - \frac{\pi}{4} \).

Таким образом, \( \sin(\alpha) - \cos(\alpha) = 2 \cos(\frac{\pi}{4}) \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) \).

Так как \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то:

\( 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) \).

4.2. Представление в виде произведения:

Используем формулы суммы синусов и суммы косинусов:

\( \sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) \).

\( \cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) \).

В данном случае \( A = 130^{\circ} \) и \( B = 110^{\circ} \).

\( \frac{A+B}{2} = \frac{130^{\circ} + 110^{\circ}}{2} = \frac{240^{\circ}}{2} = 120^{\circ} \).

\( \frac{A-B}{2} = \frac{130^{\circ} - 110^{\circ}}{2} = \frac{20^{\circ}}{2} = 10^{\circ} \).

Числитель: \( \sin 130^{\circ} + \sin 110^{\circ} = 2 \sin(120^{\circ}) \cos(10^{\circ}) \).

Знаменатель: \( \cos 130^{\circ} + \cos 110^{\circ} = 2 \cos(120^{\circ}) \cos(10^{\circ}) \).

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\( \frac{2 \sin(120^{\circ}) \cos(10^{\circ})}{2 \cos(120^{\circ}) \cos(10^{\circ})} = \frac{\sin(120^{\circ})}{\cos(120^{\circ})} = \tan(120^{\circ}) \).

\( \tan(120^{\circ}) = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\tan(60^{\circ}) = -\sqrt{3} \).

Ответ: 4.1. \( \sqrt{2} \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) \)

Ответ: 4.2. \( -\sqrt{3} \)