4. Постройте четырёхугольник ABCK по координатам его вершин A (2; 5), B (7; 1), C (2; -3), D (-3; 1). Проведите отрезки AC и BD. Найдите координаты точки, в которой пересекаются эти отрезки.

Задание 4. Четырёхугольник и пересечение диагоналей

Сначала построим четырёхугольник по заданным координатам вершин, затем проведем диагонали и найдем точку их пересечения.

1. Построим точки на координатной плоскости:

• A (2; 5)
• B (7; 1)
• C (2; -3)
• D (-3; 1)

2. Соединим точки в порядке A-B-C-D-A, чтобы получить четырёхугольник ABCK.

3. Проведем диагонали AC и BD.

4. Найдем уравнение прямой, содержащей диагональ AC.

Точки A (2; 5) и C (2; -3) имеют одинаковую абсциссу (x=2). Это значит, что прямая AC является вертикальной линией.

Уравнение прямой AC: x = 2.

5. Найдем уравнение прямой, содержащей диагональ BD.

Воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки \( (x_1; y_1) \) и \( (x_2; y_2) \):

\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \]

Подставим координаты точек B (7; 1) и D (-3; 1):

\[ \frac{x - 7}{-3 - 7} = \frac{y - 1}{1 - 1} \]

\[ \frac{x - 7}{-10} = \frac{y - 1}{0} \]

Знаменатель, равный нулю, означает, что прямая BD является горизонтальной линией. Значение y для всех точек на этой прямой равно ординате точек B и D.

Уравнение прямой BD: y = 1.

6. Найдем точку пересечения диагоналей AC и BD.

Точка пересечения будет удовлетворять обоим уравнениям:

x = 2

y = 1

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей — (2; 1).

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей — (2; 1).