4. Построить фигуру ABCD, если A(1;7) В(4;4) C(4;-1) D(2;1) и найти её площадь.

Решение:

1. Построим точки на координатной плоскости и соединим их последовательно: A(1;7), B(4;4), C(4;-1), D(2;1).

2. Фигура ABCD является четырёхугольником. Для нахождения площади можно разбить его на более простые фигуры (например, треугольники или трапеции) или использовать формулу площади четырёхугольника по координатам вершин.

Метод 1: Разбиение на фигуры

Разделим четырёхугольник на два треугольника: ABC и ADC.

Площадь треугольника ABC:

Основание BC лежит на прямой \( x = 4 \), его длина \( BC = |4 - (-1)| = 5 \) единиц.

Высота, опущенная из вершины A на прямую \( x = 4 \), равна расстоянию по оси x от точки A до прямой \( x = 4 \), то есть \( h_A = |4 - 1| = 3 \) единицы.

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = \frac{15}{2} = 7.5 \) кв. ед.

Площадь треугольника ADC:

Для этого треугольника удобнее использовать формулу площади по координатам вершин:

\[ S_{ADC} = \frac{1}{2} |(x_A(y_D - y_C) + x_D(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_D))| \]

\[ S_{ADC} = \frac{1}{2} |(1(1 - (-1)) + 2(-1 - 7) + 4(7 - 1))| \]

\[ S_{ADC} = \frac{1}{2} |(1(2) + 2(-8) + 4(6))| \]

\[ S_{ADC} = \frac{1}{2} |(2 - 16 + 24)| \]

\[ S_{ADC} = \frac{1}{2} |(10)| = 5 \) кв. ед.

Общая площадь ABCD:

\[ S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = 7.5 + 5 = 12.5 \) кв. ед.

Метод 2: Формула площади четырёхугольника по координатам вершин

\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} |(x_A y_B + x_B y_C + x_C y_D + x_D y_A) - (y_A x_B + y_B x_C + y_C x_D + y_D x_A)| \]

\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} |(1 \cdot 4 + 4 \cdot (-1) + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 7) - (7 \cdot 4 + 4 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 1)| \]

\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} |(4 - 4 + 4 + 14) - (28 + 16 - 2 + 1)| \]

\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} |(18) - (43)| \]

\[ S_{ABCD} = \(\frac{1}{2}\) |18 - 43| = \(\frac{1}{2}\) |-25| = \(\frac{25}{2}\) = 12.5 \) кв. ед.

Ответ: Площадь фигуры ABCD равна 12.5 квадратных единиц.